Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 5}{x - 3} d x$

Paso 1

Divide $x^{3} - 3 x^{2} + 5$ por $x - 3$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$5$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						$0$

Paso 1.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						$0$	+	$0 x$	+	$5$

Paso 1.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x^{2} + \frac{5}{x - 3} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int \frac{5}{x - 3} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{5}{x - 3} d x$

Paso 4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 \int \frac{1}{x - 3} d x$

Paso 5

Sea $u = x - 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 5.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 (\ln (| u |) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 \ln (| u |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 \ln (| x - 3 |) + C$