Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[3]{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Paso 1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Paso 1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.8.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Paso 2.7.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{5}{3}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Paso 2.11.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Paso 2.11.3

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- \frac{2}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ como ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Combina $\frac{5}{3}$ y $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 5}{3}}$

Paso 3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{5}{3}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{5}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

Paso 3.7.2

Resta $3$ de $- 5$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

Paso 3.9

Combina $x^{- \frac{8}{3}}$ y $\frac{5}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

Paso 3.10

Multiplica.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{2}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

Paso 3.10.2

Multiplica $\frac{2}{9}$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

Paso 3.11

Multiplica $\frac{2}{9}$ por $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5)}{9 \cdot 3}$

Paso 3.12

Multiplica.

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Paso 3.12.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{9 \cdot 3}$

Paso 3.12.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{27}$

Paso 3.12.3

Mueve $x^{- \frac{8}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $\frac{10}{27}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{10}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}})$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}$ como ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1})$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8}{3} \cdot - 1})$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Combina $\frac{8}{3}$ y $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8 \cdot - 1}{3}})$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 8}{3}})$

Paso 4.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{8}{3}})$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{8}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1})$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 3}{3}})$

Paso 4.7.2

Resta $3$ de $- 8$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 11}{3}})$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{11}{3}})$

Paso 4.9

Combina $x^{- \frac{11}{3}}$ y $\frac{8}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3})$

Paso 4.10

Multiplica $\frac{10}{27}$ por $\frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{10 (x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8)}{27 \cdot 3}$

Paso 4.11

Multiplica.

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Paso 4.11.1

Multiplica $8$ por $10$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{27 \cdot 3}$

Paso 4.11.2

Multiplica $27$ por $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{81}$

Paso 4.11.3

Mueve $x^{- \frac{11}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80}{81 x^{\frac{11}{3}}}$