Cálculo Ejemplos

$\int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \csc (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \csc (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Paso 1.1.3.4.2

Reordena los factores de $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} u_{2} + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\csc (2 x)$ .

$- \frac{1}{2} \csc (2 x) + C$