Cálculo Ejemplos

$\int \ln (1 + x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (1 + x)$ y $d v = 1$ .

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2

Combina $x$ y $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3

Divide $x$ por $x + 1$ .

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Paso 3.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 3.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 3.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Paso 3.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Paso 3.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Paso 3.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 7

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 7.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

Paso 9

Simplifica.

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$