Cálculo Ejemplos

$\int \arccos (2 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arccos (2 x)$ y $d v = 1$ .

$\arccos (2 x) x - \int x (- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{x \cdot 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arccos (2 x) x - - \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\arccos (2 x) x + 1 \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 4.2

Multiplica $\int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ por $1$ .

$\arccos (2 x) x + \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 6

Sea $u = 1 - 4 x^{2}$ . Entonces $d u = - 8 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 1 - 4 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Paso 6.1.2

Diferencia.

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Paso 6.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 6.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$0 - 8 x$

Paso 6.1.4

Resta $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Paso 7.3

Mueve $8$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arccos (2 x) x + 2 (- \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\arccos (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\arccos (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 11.1.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 11.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 11.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 11.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 11.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\arccos (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 11.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 11.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 11.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 11.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 11.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 11.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 11.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 11.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reescribe $\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Paso 13.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arccos (2 x) x - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 4 x^{2}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{{(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{2} {(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$