Cálculo Ejemplos

$\int \sin (3 y) + \cos (5 y) d y$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sin (3 y) d y + \int \cos (5 y) d y$

Paso 2

Sea $u_{1} = 3 y$ . Entonces $d u_{1} = 3 d y$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 3 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Paso 2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Paso 3

Combina $\sin (u_{1})$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

Paso 5

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (5 y) d y$

Paso 6

Sea $u_{2} = 5 y$ . Entonces $d u_{2} = 5 d y$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = 5 y$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Paso 6.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Paso 7

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{5} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 9

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\sin (u_{2}) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} \cos (3 y) + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$