Cálculo Ejemplos

$\int x \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos^{2} (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (4 x) d x)$

Paso 6

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 6.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{8}$ y $\sin (4 x)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Paso 9

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C)))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{8}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C))$

Paso 10.1.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

Paso 10.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

Paso 10.2

Simplifica.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Paso 10.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Paso 10.3.3

Combina $\frac{1}{32}$ y $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) + C$

Paso 10.3.4

Para escribir $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + C$

Paso 10.3.5

Combina $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

Paso 10.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

Paso 10.3.7

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})}{8} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 (- 2) \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 \cdot - 2 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 12.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (4 x)}{32}$ al numerador.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

Paso 12.3.2

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 (- 1) \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

Paso 12.3.3

Factoriza $8$ de $32$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

Paso 12.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

Paso 12.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - \frac{- \cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Paso 12.4

Simplifica cada término.

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Paso 12.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - - \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Paso 12.4.2

Multiplica $- - \frac{\cos (4 x)}{4}$ .

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Paso 12.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 1 \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Paso 12.4.2.2

Multiplica $\frac{\cos (4 x)}{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{8} (x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 x)) + C$