Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)} d x$

Paso 1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{\tan (x)} \sec^{2} (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Paso 2.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} e^{u} d u$

Paso 3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{1}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $e^{u}$ en $1$ y en $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica.

$e - e^{0}$

Paso 4.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e - 1$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e - 1$

Forma decimal:

$1.71828182 \dots$