Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \sin (x) d x$

Paso 2

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \sin (x) d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) d x$

Paso 4

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1.1

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$(\sin (\frac{π}{4})) - \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Paso 5.1.2

Evalúa $- \cos (x)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$\sin (\frac{π}{4}) - \sin (0) - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (0) - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Paso 5.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

Paso 5.2.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Paso 5.2.6

Suma $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Paso 5.2.7

Para escribir $- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.2.8

Combina $- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}{2}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 \cdot 1}{2}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$\frac{\sqrt{2} - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\sqrt{2} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Paso 5.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} - - \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1 \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Paso 5.3.4

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Paso 5.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2}{2}$

Paso 5.3.6

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $2 \sqrt{2} - 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

Paso 5.3.7.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

Paso 5.3.7.3

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Paso 5.3.7.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.7.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

Paso 5.3.7.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.7.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

Paso 5.3.7.4.4

Divide $\sqrt{2} - 1$ por $1$ .

$\sqrt{2} - 1$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{2} - 1$

Forma decimal:

$0.41421356 \dots$