Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) d x$

Paso 1

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Evalúa $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 2.2.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 2.2.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Paso 2.2.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 2.2.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.2

$\sqrt{2} + 1$ es aproximadamente $2.41421356$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Paso 2.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Paso 2.3.3

Divide $\sqrt{2} + 1$ por $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Forma decimal:

$0.88137358 \dots$