Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

Paso 1.5

Reescribe ${\sqrt[4]{π}}^{2}$ como $\sqrt{π}$ .

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Paso 1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{π}$ como $π^{\frac{1}{4}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Paso 1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 1.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.5.5

Reescribe $π^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{π}$ .

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{1}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Paso 2.3

Combina $\frac{u_{1}}{2}$ y $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 4.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Paso 4.5

Reescribe ${\sqrt{π}}^{2}$ como $π$ .

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Paso 4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{π}$ como $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π^{1}$

Paso 4.5.5

Simplifica.

$u_{upper} = π$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 8

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

Paso 9

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

Paso 10.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

Paso 10.3

Suma $\sin (π)$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \sin (π)$

Paso 10.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{4}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{\sin (0)}{4}$

Paso 11.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{4}$

Paso 11.2

Divide $0$ por $4$ .

$0$