Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{2} {(3 x^{3} - 1)}^{4} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x^{3} - 1$ . Entonces $d u = 9 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x^{3} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$9 x^{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x^{3} - 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{3} - 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x^{3} - 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{3} - 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 1$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $3$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{2} u^{4} \frac{1}{9} d u$

Paso 2

Combina $u^{4}$ y $\frac{1}{9}$ .

$\int_{- 1}^{2} \frac{u^{4}}{9} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int_{- 1}^{2} u^{4} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{9} \frac{1}{5} u^{5}]_{- 1}^{2}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{5} u^{5}$ en $2$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{9} ((\frac{1}{5} \cdot 2^{5}) - \frac{1}{5} {(- 1)}^{5})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{1}{5} {(- 1)}^{5})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $32$ .

$\frac{1}{9} (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} {(- 1)}^{5})$

Paso 5.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{9} (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 1)$

Paso 5.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{32}{5} + 1 (\frac{1}{5}))$

Paso 5.2.5

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{32}{5} + \frac{1}{5})$

Paso 5.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{32 + 1}{5}$

Paso 5.2.7

Suma $32$ y $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{33}{5}$

Paso 5.2.8

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{33}{5}$ .

$\frac{33}{9 \cdot 5}$

Paso 5.2.9

Multiplica $9$ por $5$ .

$\frac{33}{45}$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $33$ y $45$ .

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Paso 5.2.10.1

Factoriza $3$ de $33$ .

$\frac{3 (11)}{45}$

Paso 5.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $45$ .

$\frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 15}$

Paso 5.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 15}$

Paso 5.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{11}{15}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{11}{15}$

Forma decimal:

$0.7\overline{3}$

Paso 7