Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} e^{x} - x d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Paso 2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 5.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$e^{1} - e^{0} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica.

$e - e^{0} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.2.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e - 1 \cdot 1 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e - 1 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.2.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.2.3.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 5.2.3.6

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.2.3.6.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 5.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$e - 1 - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 5.2.3.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} - 0)$

Paso 5.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e - 1 - (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 5.2.3.8

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$e - 1 - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 5.2.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e + \frac{- 2 - 1}{2}$

Paso 5.2.3.12.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$e + \frac{- 3}{2}$

Paso 5.2.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e - \frac{3}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e - \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.21828182 \dots$

Paso 7