Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Paso 1

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2

Simplifica $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Paso 2.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 3

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

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Paso 3.1.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Paso 3.2

Suma $1$ y $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{3} (t) d t$

Paso 4

Aplica la fórmula de reducción.

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) d t$

Paso 5

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 6.2

Evalúa $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Paso 6.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1 \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Paso 7.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Paso 7.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Paso 7.4

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Paso 7.5

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Paso 7.6

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Paso 7.7

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

Paso 7.8

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.9

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.10

Reescribe $\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2}$ como un producto.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.11

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.12

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.13.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.13.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.14

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.15

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 7.15.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.15.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.15.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.15.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.15.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.16

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.17

Suma $\frac{1}{\sqrt{2}}$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 7.18

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.19

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Paso 7.20

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

Paso 7.21

Para escribir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

Paso 7.22

Para escribir $\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.23

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sqrt{2} \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.23.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.23.2

Multiplica $\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 7.23.3

Reordena los factores de $\sqrt{2} \cdot 2$ .

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 7.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.1.1.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.1.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.1.2

$\sqrt{2} + 1$ es aproximadamente $2.41421356$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3

Divide $\sqrt{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$1.14779357 \dots$

Paso 10