Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ como $\frac{d}{d x} [x - 1]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

Paso 1.1.2.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.1.2.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

Paso 1.1.2.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

Paso 1.1.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

Paso 1.3.4

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{1}$

Paso 1.3.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

Paso 1.5.3

Resta $2$ de $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

Paso 1.5.4

Suma $- 1$ y $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

Paso 1.5.5

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.5.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} u d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{2} u^{2}$ en $0$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Paso 3.2.5

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$

Paso 5