Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 7 x e^{5 x} d x$

Paso 1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int_{0}^{1} x e^{5 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{5 x}$ .

$7 (x (\frac{1}{5} e^{5 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$7 (x \frac{e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Paso 3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{5 x} d x))$

Paso 5

Sea $u = 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 5.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Paso 5.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u)$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Paso 8.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} e^{u}]_{0}^{5})$

Paso 10

Combina $e^{u}]_{0}^{5}$ y $\frac{1}{25}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\frac{x e^{5 x}}{5}$ en $1$ y en $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Paso 11.2

Evalúa $e^{u}$ en $5$ y en $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$7 (\frac{1 e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.2

Multiplica $e^{5}$ por $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 \cdot 1}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.6

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 11.3.6.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 (0)}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} + 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.8

Suma $\frac{e^{5}}{5}$ y $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Paso 11.3.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1 \cdot 1}{25})$

Paso 11.3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Paso 11.3.11

Para escribir $\frac{e^{5}}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Paso 11.3.12

Escribe cada expresión con un denominador común de $25$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.3.12.1

Multiplica $\frac{e^{5}}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Paso 11.3.12.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{25} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Paso 11.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 \frac{e^{5} \cdot 5 - (e^{5} - 1)}{25}$

Paso 11.3.14

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5}$ .

$7 \frac{5 \cdot e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$

Paso 11.3.15

Combina $7$ y $\frac{5 e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - (e^{5} - 1))}{25}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} - - 1)}{25}$

Paso 12.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} + 1)}{25}$

Paso 12.3

Resta $e^{5}$ de $5 e^{5}$ .

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Forma decimal:

$166.50273819 \dots$

Paso 14