Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x^{2} + 1)$ y $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Divide $x^{2}$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Paso 5.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Paso 9.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x)]_{0}^{1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\ln (x^{2} + 1) x$ en $1$ y en $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Paso 11.2

Evalúa $x$ en $1$ y en $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Paso 11.3

Evalúa $\arctan (x)$ en $1$ y en $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 11.4

Simplifica.

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Paso 11.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 11.4.2

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 11.4.3

Multiplica $\ln (2)$ por $1$ .

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 11.4.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 11.4.5

Suma $0$ y $1$ .

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 11.4.6

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 11.4.7

Multiplica $0$ por $\ln (1)$ .

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 11.4.8

Suma $\ln (2)$ y $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 11.4.9

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

Paso 12.1.1.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

Paso 12.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

Paso 12.1.2

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Paso 12.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

Paso 12.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

Paso 12.4.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

Paso 12.4.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Paso 12.4.4

Cancela el factor común.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Paso 12.4.5

Reescribe la expresión.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

Paso 12.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

Paso 12.5.2

Multiplica $- - \frac{π}{2}$ .

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Paso 12.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

Paso 12.5.2.2

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Forma decimal:

$0.26394350 \dots$