Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 6 x^{5} e^{x^{6}} d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{0}^{1} x^{5} e^{x^{6}} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Paso 2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$6 \int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{1}}^{2}$ .

$6 \int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 3.4

Combina $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ y $e^{{u_{1}}^{3}}$ .

$6 \int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Entonces $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Paso 6.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2}$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ .

$u_{lower} = 0^{3}$

Paso 6.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

Paso 6.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 7

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 \int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{3}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.3

Multiplica $\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $e^{u_{2}}$ en $1$ y en $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Simplifica.

$e - e^{0}$

Paso 11.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Paso 11.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e - 1$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e - 1$

Forma decimal:

$1.71828182 \dots$

Paso 13