Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x (\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}) d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[4]{x}) d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{1} x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{1} x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{1} x^{1 + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3 + 1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.6

Suma $3$ y $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Paso 3.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Paso 3.11

Suma $4$ y $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{5}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}$ y $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}}) - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2

Simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{7} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1 - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.4

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.5

Para escribir $\frac{3}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.6

Para escribir $\frac{4}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $63$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.2.7.1

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.7.2

Multiplica $7$ por $9$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.7.3

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.7.4

Multiplica $9$ por $7$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \cdot 9 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.9.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{27 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.9.2

Multiplica $4$ por $7$ .

$\frac{27 + 28}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.9.3

Suma $27$ y $28$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.10

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.11

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.12.1

Cancela el factor común.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.12.2

Reescribe la expresión.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{7} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.13

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.14

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.15

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}})$

Paso 7.2.2.16

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Paso 7.2.2.17

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.17.1

Cancela el factor común.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Paso 7.2.2.17.2

Reescribe la expresión.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{9})$

Paso 7.2.2.18

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0)$

Paso 7.2.2.19

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + 0)$

Paso 7.2.2.20

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{55}{63} - 0$

Paso 7.2.2.21

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{55}{63} + 0$

Paso 7.2.2.22

Suma $\frac{55}{63}$ y $0$ .

$\frac{55}{63}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{55}{63}$

Forma decimal:

$0.\overline{873015}$

Paso 9