Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ en $8$ y en $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.6

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $48$ y $4$ .

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Paso 3.2.7.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.7.2.4

Divide $12$ por $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.8

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.2.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Paso 3.2.10

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.10.1

Cancela el factor común.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Paso 3.2.10.2

Reescribe la expresión.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.2.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

Paso 3.2.12

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

Paso 3.2.13

Multiplica $0$ por $\frac{3}{4}$ .

$12 + 0$

Paso 3.2.14

Suma $12$ y $0$ .

$12$

Paso 4