Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 + 3 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 + 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 + 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 3 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 + 3$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $3$ .

$3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 + 3 x$ .

$u_{lower} = 4 + 3 \cdot 0$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 + 3 x$ .

$u_{upper} = 4 + 3 \cdot 7$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$u_{upper} = 4 + 21$

Paso 1.5.2

Suma $4$ y $21$ .

$u_{upper} = 25$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{25}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $25$ y en $4$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.6

Multiplica $2$ por $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 6.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Paso 6.2.11

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.2.12

Combina $- 8$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Paso 6.2.13

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 16}{3})$

Paso 6.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 6.2.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{250 - 16}{3}$

Paso 6.2.16

Resta $16$ de $250$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{234}{3}$

Paso 6.2.17

Cancela el factor común de $234$ y $3$ .

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Paso 6.2.17.1

Factoriza $3$ de $234$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3}$

Paso 6.2.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.17.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 (1)}$

Paso 6.2.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 \cdot 1}$

Paso 6.2.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{78}{1}$

Paso 6.2.17.2.4

Divide $78$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 78$

Paso 6.2.18

Combina $\frac{1}{3}$ y $78$ .

$\frac{78}{3}$

Paso 6.2.19

Cancela el factor común de $78$ y $3$ .

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Paso 6.2.19.1

Factoriza $3$ de $78$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3}$

Paso 6.2.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.19.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)}$

Paso 6.2.19.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1}$

Paso 6.2.19.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{26}{1}$

Paso 6.2.19.2.4

Divide $26$ por $1$ .

$26$

Paso 7