Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{4} x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = 4 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 4 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $4 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $16$ de $16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $16$ de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $16$ de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $16 \cos^{2} (t)$ como ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Factoriza $4$ de $4 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 (\sin (t)))}^{2} (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.2

Aplica la regla del producto a $4 (\sin (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 4^{2} \sin^{2} (t) (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 16 \sin^{2} (t) (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.4

Multiplica $4$ por $16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \sin^{2} (t) \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.5

Multiplica $4$ por $64$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 2.2.6

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 2.2.7

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que $256$ es constante con respecto a $t$ , mueve $256$ fuera de la integral.

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (t)$ como $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ por $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{2 \cdot 2} d t$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{4} d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$256 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $256$ .

$\frac{256}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $256$ y $4$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $4$ de $256$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{64}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Paso 8.2.2.4

Divide $64$ por $1$ .

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Paso 9

Sea $u_{1} = 2 t$ . Entonces $d u_{1} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{1} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{1} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 9.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{1} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 9.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 9.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 9.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$64 \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$64 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Paso 11

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.1.2

Cancela el factor común de $64$ y $2$ .

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Paso 11.1.2.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{32}{1} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.1.2.2.4

Divide $32$ por $1$ .

$32 \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.2

Expande $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Paso 11.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$32 \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$32 \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$32 \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.4

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.6

Multiplica $\cos (u_{1})$ por $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.8

Factoriza el negativo.

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.2.9

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.2.10

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Paso 11.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Paso 11.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.13

Resta $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.14

Resta $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$32 (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 15

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 16

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Paso 17

Divide la única integral en varias integrales.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Paso 18

Aplica la regla de la constante.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Paso 19

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 19.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 19.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 19.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 19.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 19.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 19.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 19.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 19.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 19.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 19.6

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Paso 20

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Paso 21

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 22

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Paso 23

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}$ .

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}))$

Paso 24

Sustituye y simplifica.

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Paso 24.1

Evalúa $u_{1}$ en $π$ y en $0$ .

$32 ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}))$

Paso 24.2

Evalúa $u_{1}$ en $π$ y en $0$ .

$32 (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}))$

Paso 24.3

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $2 π$ y en $0$ .

$32 (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}))$

Paso 24.4

Simplifica.

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Paso 24.4.1

Suma $π$ y $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}))$

Paso 24.4.2

Suma $π$ y $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}))$

Paso 25

Simplifica.

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Paso 25.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π) - 0}{2}))$

Paso 25.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π) + 0}{2}))$

Paso 25.3

Suma $\sin (2 π)$ y $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

Paso 26

Simplifica.

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Paso 26.1

Simplifica cada término.

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Paso 26.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 26.1.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

Paso 26.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

Paso 26.1.2

Divide $0$ por $2$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

Paso 26.2

Suma $π$ y $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} π)$

Paso 26.3

Combina $π$ y $\frac{1}{2}$ .

$32 (π - \frac{π}{2})$

Paso 26.4

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$32 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 26.5

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$32 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 26.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$32 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 26.7

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$32 \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 26.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 26.8.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$2 (16) \frac{2 π - π}{2}$

Paso 26.8.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 16 \frac{2 π - π}{2}$

Paso 26.8.3

Reescribe la expresión.

$16 (2 π - π)$

Paso 26.9

Resta $π$ de $2 π$ .

$16 π$

Paso 27

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$16 π$

Forma decimal:

$50.26548245 \dots$

Paso 28