Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} e^{t} - e^{- t} d t$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{3} e^{t} d t + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Paso 2

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} e^{- t} d t$

Paso 4

Sea $u = - t$ . Entonces $d u = - d t$ , de modo que $- d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Paso 4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = - t$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = - t$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Paso 4.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{- 3} - e^{u} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{t}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Paso 6.2

Multiplica $\int_{0}^{- 3} e^{u} d u$ por $1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $e^{t}$ en $3$ y en $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Paso 8.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 3$ y en $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + (e^{- 3}) - e^{0}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{3} - 1 \cdot 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Paso 8.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{3} - 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Paso 8.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1 \cdot 1$

Paso 8.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1$

Paso 8.3.5

Resta $1$ de $- 1$ .

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Forma decimal:

$18.13532399 \dots$

Paso 10