Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} x^{2} \cos (4 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \cos (4 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{4} \sin (4 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (4 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int_{0}^{π} \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - (\frac{2}{4} \int_{0}^{π} \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - (\frac{2 (1)}{4} \int_{0}^{π} \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \sin (4 x) (x) d x)$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (4 x) (x) d x)$

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (4 x) (x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (4 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (x (- \frac{1}{4} \cos (4 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\cos (4 x)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (x (- \frac{\cos (4 x)}{4})]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

Paso 6.3

Combina $\cos (4 x)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} - - \int_{0}^{π} \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + 1 \int_{0}^{π} \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Paso 8.2

Multiplica $\int_{0}^{π} \frac{\cos (4 x)}{4} d x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (4 x) d x)$

Paso 10

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 10.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 10.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Paso 10.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 10.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 π$

Paso 10.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Paso 10.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{4} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{4} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

Paso 13.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \frac{1}{16} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

Paso 14

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \frac{1}{16} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

Paso 15

Combina $\frac{1}{16}$ y $\sin (u)]_{0}^{4 π}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u)]_{0}^{4 π}}{16})$

Paso 16

Sustituye y simplifica.

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Paso 16.1

Evalúa $\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$ en $π$ y en $0$ .

$(\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4}) - \frac{0^{2} \sin (4 \cdot 0)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u)]_{0}^{4 π}}{16})$

Paso 16.2

Evalúa $- \frac{x \cos (4 x)}{4}$ en $π$ y en $0$ .

$(\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4}) - \frac{0^{2} \sin (4 \cdot 0)}{4} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin (u)]_{0}^{4 π}}{16})$

Paso 16.3

Evalúa $\sin (u)$ en $4 π$ y en $0$ .

$(\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4}) - \frac{0^{2} \sin (4 \cdot 0)}{4} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4

Simplifica.

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Paso 16.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{0 \sin (4 \cdot 0)}{4} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{0 \sin (0)}{4} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.3

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{0}{4} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.4

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 16.4.4.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{4 (0)}{4} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.4.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{0}{1} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - 0 - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} + 0 - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.6

Suma $\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4}$ y $0$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} ((- \frac{π \cos (4 π)}{4}) + \frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.7

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.8

Multiplica $0$ por $\cos (0)$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π)}{4} + \frac{0}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.9

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 16.4.9.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π)}{4} + \frac{4 (0)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.4.9.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π)}{4} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π)}{4} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π)}{4} + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.10

Suma $- \frac{π \cos (4 π)}{4}$ y $0$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π)}{4} + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.11

Para escribir $- \frac{π \cos (4 π)}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π)}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.12

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 16.4.12.1

Multiplica $\frac{π \cos (4 π)}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π) \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.12.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{π \cos (4 π) \cdot 4}{16} + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{16})$

Paso 16.4.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cos (4 π) \cdot 4 + \sin (4 π) - \sin (0)}{16}$

Paso 16.4.14

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - \sin (0)}{16}$

Paso 16.4.15

Multiplica $\frac{- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - \sin (0)}{16}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - \sin (0)}{16 \cdot 2}$

Paso 16.4.16

Multiplica $16$ por $2$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} - \frac{- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - \sin (0)}{32}$

Paso 16.4.17

Para escribir $\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4} \cdot \frac{8}{8} - \frac{- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - \sin (0)}{32}$

Paso 16.4.18

Escribe cada expresión con un denominador común de $32$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 16.4.18.1

Multiplica $\frac{π^{2} \sin (4 π)}{4}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π) \cdot 8}{4 \cdot 8} - \frac{- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - \sin (0)}{32}$

Paso 16.4.18.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{π^{2} \sin (4 π) \cdot 8}{32} - \frac{- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - \sin (0)}{32}$

Paso 16.4.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π^{2} \sin (4 π) \cdot 8 - (- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - \sin (0))}{32}$

Paso 16.4.20

Mueve $8$ a la izquierda de $π^{2} \sin (4 π)$ .

$\frac{8 π^{2} \sin (4 π) - (- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - \sin (0))}{32}$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{8 π^{2} \sin (4 π) - (- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) - 0)}{32}$

Paso 17.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{8 π^{2} \sin (4 π) - (- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π) + 0)}{32}$

Paso 17.3

Suma $- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π)$ y $0$ .

$\frac{8 π^{2} \sin (4 π) - (- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π))}{32}$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{8 π^{2} \sin (0) - (- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π))}{32}$

Paso 18.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{8 π^{2} \cdot 0 - (- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π))}{32}$

Paso 18.3

Multiplica $8 π^{2} \cdot 0$ .

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Paso 18.3.1

Multiplica $0$ por $8$ .

$\frac{0 π^{2} - (- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π))}{32}$

Paso 18.3.2

Multiplica $0$ por $π^{2}$ .

$\frac{0 - (- 4 π \cos (4 π) + \sin (4 π))}{32}$

Paso 18.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{0 - (- 4 π \cos (0) + \sin (4 π))}{32}$

Paso 18.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0 - (- 4 π \cdot 1 + \sin (4 π))}{32}$

Paso 18.6

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{0 - (- 4 π + \sin (4 π))}{32}$

Paso 18.7

Simplifica cada término.

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Paso 18.7.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{0 - (- 4 π + \sin (0))}{32}$

Paso 18.7.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 - (- 4 π + 0)}{32}$

Paso 18.8

Suma $- 4 π$ y $0$ .

$\frac{0 - (- 4 π)}{32}$

Paso 18.9

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 4 π}{32}$

Paso 18.10

Reduce la expresión $\frac{0 + 4 π}{32}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 18.10.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$\frac{4 (0) + 4 π}{32}$

Paso 18.10.2

Factoriza $4$ de $4 π$ .

$\frac{4 (0) + 4 (π)}{32}$

Paso 18.10.3

Factoriza $4$ de $4 (0) + 4 (π)$ .

$\frac{4 (0 + π)}{32}$

Paso 18.10.4

Factoriza $4$ de $32$ .

$\frac{4 (0 + π)}{4 \cdot 8}$

Paso 18.10.5

Cancela el factor común.

$\frac{4 (0 + π)}{4 \cdot 8}$

Paso 18.10.6

Reescribe la expresión.

$\frac{0 + π}{8}$

Paso 18.11

Suma $0$ y $π$ .

$\frac{π}{8}$

Paso 19

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{8}$

Forma decimal:

$0.39269908 \dots$