Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} 2 x e^{- x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{1}^{2} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Paso 2.3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 2^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 4}$

Paso 2.5.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$u_{upper} = e^{- 4}$

Paso 2.5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$2 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $- \frac{u_{2}}{2}$ en $\frac{1}{e^{4}}$ y en $\frac{1}{e}$ .

$2 ((- \frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $\frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}$ como un producto.

$2 (- (\frac{1}{e^{4}} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{e^{4}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{e^{4} \cdot 2} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Paso 5.2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{4}$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot e^{4}} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Paso 5.2.2.4

Reescribe $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ como un producto.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Paso 5.2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{2 e})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}}) + 2 \frac{1}{2 e}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 e^{4}}$ al numerador.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Paso 6.2.2

Factoriza $2$ de $2 e^{4}$ .

$2 \frac{- 1}{2 (e^{4})} + 2 \frac{1}{2 e}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $2$ de $2 e$ .

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 (e)}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Paso 6.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Forma decimal:

$0.34956380 \dots$

Paso 8