Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 - 5 x$ . Entonces $d u = - 5 d x$ , de modo que $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 - 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 - 5$

Paso 1.1.4

Resta $5$ de $0$ .

$- 5$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 - 5 x$ .

$u_{lower} = 3 - 5 \cdot 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 5$

Paso 1.3.2

Resta $5$ de $3$ .

$u_{lower} = - 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 - 5 x$ .

$u_{upper} = 3 - 5 \cdot 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$u_{upper} = 3 - 10$

Paso 1.5.2

Resta $10$ de $3$ .

$u_{upper} = - 7$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 7$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Paso 2.3

Mueve $5$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{- 2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} - u^{- 1}]_{- 2}^{- 7}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $- 7$ y en $- 2$ .

$- \frac{1}{5} ((- {(- 7)}^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{- 7} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} (- - \frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{7}) + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 7.2.4

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Paso 7.2.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + \frac{1}{- 2})$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} - \frac{1}{2})$

Paso 7.2.7

Para escribir $\frac{1}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 7.2.8

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Paso 7.2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $14$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.9.1

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Paso 7.2.9.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Paso 7.2.9.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7})$

Paso 7.2.9.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{14})$

Paso 7.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2 - 7}{14}$

Paso 7.2.11

Resta $7$ de $2$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{- 5}{14}$

Paso 7.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} (- \frac{5}{14})$

Paso 7.2.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{5}{14}$

Paso 7.2.14

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{14}$

Paso 7.2.15

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{14}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 14}$

Paso 7.2.16

Multiplica $5$ por $14$ .

$\frac{5}{70}$

Paso 7.2.17

Cancela el factor común de $5$ y $70$ .

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Paso 7.2.17.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{70}$

Paso 7.2.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.17.2.1

Factoriza $5$ de $70$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Paso 7.2.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Paso 7.2.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{14}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{14}$

Forma decimal:

$0.0\overline{714285}$

Paso 9