Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

Paso 1

Sea $u = π x^{2}$ . Entonces $d u = 2 \cdot x π d x$ , de modo que $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = π x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Paso 1.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x^{2}$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$π (2 x)$

Paso 1.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 π x$

Paso 1.1.5

Reordena $2 π$ y $x$ .

$x (2 π)$

Paso 1.1.6

Reordena $x$ y $2$ .

$2 \cdot x π$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = π \cdot 1$

Paso 1.3.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$u_{lower} = π$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = π \cdot 9$

Paso 1.5.2

Mueve $9$ a la izquierda de $π$ .

$u_{upper} = 9 π$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Paso 2

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2 π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2 π}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

Paso 4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

Paso 5

Evalúa $- \cos (u)$ en $9 π$ y en $π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

Paso 6.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

Paso 6.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

Paso 6.1.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

Paso 6.1.5

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

Paso 6.1.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

Paso 6.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

Paso 6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{2 π}$ por $0$ .

$0$