Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{\sqrt{u}} d u$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Expande $(u - 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{4} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{4} u^{1 - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4.6

Resta $1$ de $2$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Paso 9.2

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.6

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 - 2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.10

Resta $2$ de $16$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.11

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.12

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.13.1

Cancela el factor común.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.13.2

Reescribe la expresión.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.14

Evalúa el exponente.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.15

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1)$

Paso 9.3.17

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2)$

Paso 9.3.18

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{14}{3} - 2 \cdot 2$

Paso 9.3.19

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{14}{3} - 4$

Paso 9.3.20

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 9.3.21

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{14 - 4 \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.23

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.23.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{14 - 12}{3}$

Paso 9.3.23.2

Resta $12$ de $14$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$

Paso 11