Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} 5 - 2 x + 3 x^{2} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} 5 d x + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$5 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Paso 3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$5 x]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $5 x$ en $4$ y en $1$ .

$(5 \cdot 4) - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 8.2.3

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4

Simplifica.

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Paso 8.2.4.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$20 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$20 - 5 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.3

Resta $5$ de $20$ .

$15 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$15 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.5

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 8.2.4.5.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$15 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.5.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$15 - 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$15 - 2 (8 - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.7

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.8

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$15 - 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.4.10.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$15 - 2 \frac{16 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.10.2

Resta $1$ de $16$ .

$15 - 2 (\frac{15}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.11

Combina $- 2$ y $\frac{15}{2}$ .

$15 + \frac{- 2 \cdot 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.12

Multiplica $- 2$ por $15$ .

$15 + \frac{- 30}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.13

Cancela el factor común de $- 30$ y $2$ .

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Paso 8.2.4.13.1

Factoriza $2$ de $- 30$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.13.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.13.2.2

Cancela el factor común.

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.13.2.3

Reescribe la expresión.

$15 + \frac{- 15}{1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.13.2.4

Divide $- 15$ por $1$ .

$15 - 15 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14

Resta $15$ de $15$ .

$0 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.15

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.2.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 3 \frac{64 - 1}{3}$

Paso 8.2.4.18

Resta $1$ de $64$ .

$0 + 3 (\frac{63}{3})$

Paso 8.2.4.19

Cancela el factor común de $63$ y $3$ .

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Paso 8.2.4.19.1

Factoriza $3$ de $63$ .

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Paso 8.2.4.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.19.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Paso 8.2.4.19.2.2

Cancela el factor común.

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Paso 8.2.4.19.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + 3 (\frac{21}{1})$

Paso 8.2.4.19.2.4

Divide $21$ por $1$ .

$0 + 3 \cdot 21$

Paso 8.2.4.20

Multiplica $3$ por $21$ .

$0 + 63$

Paso 8.2.4.21

Suma $0$ y $63$ .

$63$

Paso 9