Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Paso 6.1.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ en $4$ y en $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Paso 6.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.2

Mueve $16$ a la izquierda de $\ln (4)$ .

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.3

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 6.2.3.3.1

Factoriza $2$ de $16 \ln (4)$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.3.2.4

Divide $8 \ln (4)$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.5

Mueve $4$ a la izquierda de $\ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.6

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.2.3.6.1

Factoriza $2$ de $4 \ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.6.2.4

Divide $2 \ln (2)$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.8

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 6.2.3.9.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.11

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.2.3.11.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

Paso 6.2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

Paso 6.2.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

Paso 6.2.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

Paso 6.2.3.11.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

Paso 6.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

Paso 6.2.3.13

Resta $2$ de $8$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

Paso 6.2.3.14

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 6.2.3.14.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

Paso 6.2.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.14.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

Paso 6.2.3.14.2.2

Cancela el factor común.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

Paso 6.2.3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

Paso 6.2.3.14.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

Paso 6.2.3.15

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Paso 7.2.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

Paso 7.2.4

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

Paso 7.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

Paso 7.3.2

Multiplica $16$ por $6$ .

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

Paso 7.4

Resta $12 \ln (2)$ de $96 \ln (2)$ .

$84 \ln (2) - 18$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$84 \ln (2) - 18$

Forma decimal:

$40.22436316 \dots$