Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln^{2} (x)$ y $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Paso 3

Reescribe $\ln (x^{2})$ como $2 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

Paso 5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Paso 6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\ln^{2} (x) x$ en $e$ y en $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Paso 9.2

Evalúa $\ln (x) x$ en $e$ y en $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Paso 9.3

Evalúa $x$ en $e$ y en $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Paso 9.4

Simplifica.

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Paso 9.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Paso 9.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 10.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 10.1.3

Multiplica $e$ por $1$ .

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 10.1.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 10.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 10.1.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 10.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.7.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 10.1.7.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 10.1.7.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

Paso 10.1.7.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

Paso 10.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

Paso 10.1.7.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

Paso 10.1.8

Suma $e$ y $0$ .

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

Paso 10.1.9

Resta $e$ de $e$ .

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

Paso 10.1.10

Suma $0$ y $1$ .

$e + 0 - 2 \cdot 1$

Paso 10.1.11

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$e + 0 - 2$

Paso 10.2

Suma $e$ y $0$ .

$e - 2$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e - 2$

Forma decimal:

$0.71828182 \dots$