Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Paso 3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Paso 3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Paso 3.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.1.2

Multiplica $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ y $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ en $e$ y en $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1})$

Paso 7.2.2

Simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide $\ln (1)$ por $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1})$

Paso 7.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1)$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1)$

Paso 7.2.2.4

Para escribir $- (- \ln (1) - 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e}$

Paso 7.2.2.5

Combina $- (- \ln (1) - 1)$ y $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.2.2.7

Para escribir $- e^{- 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.2.2.8

Combina $- e^{- 1}$ y $\frac{e}{e}$ .

$\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.2.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.2.2.10

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.2.2.12

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.2.2.13

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.2.2.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (e)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (\ln (e))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (- \ln (1) - 1) e$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Paso 7.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Paso 7.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{e}$

Paso 7.4.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{e}$

Paso 7.4.3

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{e}$

Paso 7.4.4

Reescribe $- 1 e$ como $- e$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{e}$

Paso 7.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.5.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- \frac{1 + 1 - e}{e}$

Paso 7.4.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2 - e}{e}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2 - e}{e}$

Forma decimal:

$0.26424111 \dots$