Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{9} \frac{1}{2 x} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $9$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 9 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})}{2}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $9$ es $9$ .

$\frac{\ln (\frac{9}{| 1 |})}{2}$

Paso 3.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{\ln (\frac{9}{1})}{2}$

Paso 3.3.3

Divide $9$ por $1$ .

$\frac{\ln (9)}{2}$

Paso 3.3.4

Reescribe $\ln (9)$ como $\ln (3^{2})$ .

$\frac{\ln (3^{2})}{2}$

Paso 3.3.5

Expande $\ln (3^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{2 \ln (3)}{2}$

Paso 3.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (3)}{2}$

Paso 3.3.6.2

Divide $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (3)$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (3)$

Forma decimal:

$1.09861228 \dots$

Paso 5