Cálculo Ejemplos

$\int_{12}^{13} x \sqrt{x^{2} - 144} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} - 144$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} - 144$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} - 144$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 144]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 144$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 144]$

Paso 1.1.4

Como $- 144$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 144$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} - 144$ .

$u_{lower} = 12^{2} - 144$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 144 - 144$

Paso 1.3.2

Resta $144$ de $144$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} - 144$ .

$u_{upper} = 13^{2} - 144$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 169 - 144$

Paso 1.5.2

Resta $144$ de $169$ .

$u_{upper} = 25$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $25$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.6

Multiplica $2$ por $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Paso 6.2.11

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.2.12

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0)$

Paso 6.2.13

Suma $\frac{250}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

Paso 6.2.14

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{250}{3}$ .

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

Paso 6.2.15

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{250}{6}$

Paso 6.2.16

Cancela el factor común de $250$ y $6$ .

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Paso 6.2.16.1

Factoriza $2$ de $250$ .

$\frac{2 (125)}{6}$

Paso 6.2.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.16.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Paso 6.2.16.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Paso 6.2.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{125}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{125}{3}$

Forma decimal:

$41.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$41 \frac{2}{3}$

Paso 8