Cálculo Ejemplos

$y = {(4 x - 7)}^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x - 7)}^{2})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe ${(4 x - 7)}^{2}$ como $(4 x - 7) (4 x - 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x - 7) (4 x - 7)]$

Paso 3.2

Expande $(4 x - 7) (4 x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x - 7) - 7 (4 x - 7)]$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x - 7)]$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 7$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 28 x - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $4$ por $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 28 x - 28 x - 7 \cdot - 7]$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 28 x - 28 x + 49]$

Paso 3.3.2

Resta $28 x$ de $- 28 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 56 x + 49]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x^{2} - 56 x + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 3.5

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 3.8

Como $- 56$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 56 x$ con respecto a $x$ es $- 56 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 x - 56 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$32 x - 56 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 3.10

Multiplica $- 56$ por $1$ .

$32 x - 56 + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 3.11

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$32 x - 56 + 0$

Paso 3.12

Suma $32 x - 56$ y $0$ .

$32 x - 56$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 32 x - 56$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 32 x - 56$