Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

Paso 1

Comprueba si $f (x) = x^{2} + 2 x$ es continua.

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Paso 1.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 1.2

$f (x)$ es continua en $[0, 7]$ .

La función es continua.

Paso 2

Comprueba si $f (x) = x^{2} + 2 x$ es diferenciable.

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Paso 2.1

Obtén la derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Paso 2.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Paso 2.2

Obtén si la derivada es continua en $[0, 7]$ .

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Paso 2.2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2.2

$f' (x)$ es continua en $[0, 7]$ .

La función es continua.

Paso 2.3

La función es diferenciable en $[0, 7]$ porque la derivada es continua en $[0, 7]$ .

La función es diferenciable.

Paso 3

Para garantizar la longitud del arco, la función y su derivada deben ser ambas continuas en el intervalo cerrado $[0, 7]$ .

La función y su derivada son continuas en el intervalo cerrado $[0, 7]$ .

Paso 4

Obtén la derivada de $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Paso 4.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x + 2$

Paso 5

Para obtener la longitud del arco de una función, usa la fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{7} \sqrt{1 + {(2 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 6

Evalúa la integral.

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Paso 6.1

Completa el cuadrado.

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Paso 6.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 5$

Paso 6.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 6.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Paso 6.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 6.1.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 6.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 6.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 6.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 5 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 6.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 5 - \frac{64}{16}$

Paso 6.1.4.2.1.3

Divide $64$ por $16$ .

$e = 5 - 1 \cdot 4$

Paso 6.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 5 - 4$

Paso 6.1.4.2.2

Resta $4$ de $5$ .

$e = 1$

Paso 6.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x + 1)}^{2} + 1$ .

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 {(x + 1)}^{2} + 1} d x$

Paso 6.2

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 6.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 6.2.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 6.2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Paso 6.2.5

Suma $7$ y $1$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 6.2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Paso 6.2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{8} \sqrt{4 u^{2} + 1} d u$

Paso 6.3

Sea $u = \frac{1}{2} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ es positiva.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.4.1

Simplifica $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

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Paso 6.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.4.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4.2

Simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Combina $\sec (t)$ y $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4.2.2

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.2.2.1

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 6.4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Paso 6.4.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 6.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec^{3} (t) d t$

Paso 6.6

Aplica la fórmula de reducción.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec (t) d t)$

Paso 6.7

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751})$

Paso 6.8

Simplifica.

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Paso 6.8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

Paso 6.8.2

Para escribir $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

Paso 6.8.3

Combina $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

Paso 6.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$

Paso 6.8.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$

Paso 6.8.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.8.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{4}$

Paso 6.9

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.9.1

Evalúa $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ en $1.50837751$ y en $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{4}$

Paso 6.9.2

Evalúa $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ en $1.50837751$ y en $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + (\ln (| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |)) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Paso 6.9.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Paso 6.10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11

Simplifica.

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Paso 6.11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.11.1.1

Evalúa $\tan (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{2 \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.1.2

Evalúa $\sec (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{2 \cdot 2.23606797}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.2

Multiplica $2$ por $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{4.47213595}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.3

Divide $4.47213595$ por $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - 1 \cdot 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.4

Multiplica $- 1$ por $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.11.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.11.5.1.1

Evalúa $\tan (1.50837751)$ .

$\frac{2 (\frac{16 \sec (1.50837751)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.5.1.2

Evalúa $\sec (1.50837751)$ .

$\frac{2 (\frac{16 \cdot 16.03121954}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.5.2

Multiplica $16$ por $16.03121954$ .

$\frac{2 (\frac{256.49951267}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.5.3

Divide $256.49951267$ por $2$ .

$\frac{2 (128.24975633 - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.6

Resta $2.23606797$ de $128.24975633$ .

$\frac{2 \cdot 126.01368835 + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.7

Multiplica $2$ por $126.01368835$ .

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.8

$\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)$ es aproximadamente $32.03121954$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Paso 6.11.9

$\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)$ es aproximadamente $4.23606797$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Forma decimal:

$63.51261306 \dots$

Paso 8