Cálculo Ejemplos

$g (x) = \sqrt{9 - x}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \sqrt{9 - (x + h)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\sqrt{9 - x - h}$ .

$\sqrt{9 - x - h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - (\sqrt{9 - x})}{h}$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $\sqrt{9 - x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{h}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - x - h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.4

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.6

Evalúa el límite de $\sqrt{9 - x}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.7

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.1.2.7.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{\sqrt{9 - x + 0} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.7.2

Combina los términos opuestos en $\sqrt{9 - x + 0} - \sqrt{9 - x}$ .

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Paso 5.1.2.7.2.1

Suma $9 - x$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - x} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.2.7.2.2

Resta $\sqrt{9 - x}$ de $\sqrt{9 - x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}]$ .

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 - x - h}$ como ${(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ y $g (h) = 9 - x - h$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 - x - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 - x - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x - h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.4

Como $9$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $9$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.5

Como $- x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- h$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 - \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.13

Suma $0$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.15

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.16

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.17

Combina $\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.18

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.19

Reescribe $- 1 {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.20

Mueve ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.3.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.4

Como $- \sqrt{9 - x}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- \sqrt{9 - x}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.5

Suma $- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 5.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 5.5

Reescribe ${(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{9 - x - h}$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}} \cdot 1$

Paso 5.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}}$

Paso 6.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- \frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - x - h}}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h}}$

Paso 6.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h}}$

Paso 6.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - x - h}}$

Paso 6.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Paso 6.7

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Paso 6.8

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h}}$

Paso 6.9

Simplifica los términos.

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Paso 6.9.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x + 0}}$

Paso 6.9.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.9.2.1

Suma $9 - x$ y $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x}}$

Paso 6.9.2.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{9 - x}}$ por $\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{9 - x}} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}})$

Paso 6.9.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.9.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{9 - x}}$ por $\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x} \sqrt{9 - x}}$

Paso 6.9.2.3.2

Eleva $\sqrt{9 - x}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1} \sqrt{9 - x}}$

Paso 6.9.2.3.3

Eleva $\sqrt{9 - x}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1} {\sqrt{9 - x}}^{1}}$

Paso 6.9.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1 + 1}}$

Paso 6.9.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{2}}$

Paso 6.9.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{9 - x}}^{2}$ como $9 - x$ .

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Paso 6.9.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 - x}$ como ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.9.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.9.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.9.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.9.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.9.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{1}}$

Paso 6.9.2.3.6.5

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{9 - x}$

Paso 6.9.2.4

Multiplica $\frac{\sqrt{9 - x}}{9 - x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{9 - x}}{(9 - x) \cdot 2}$

Paso 6.9.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $9 - x$ .

$- \frac{\sqrt{9 - x}}{2 (9 - x)}$

Paso 7