Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.7.3

Mueve ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 1.1.1.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 1.1.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 1.1.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Paso 1.1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.1.1.13

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.13.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Paso 1.1.1.13.2

Combina $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.13.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.2.1.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Paso 1.1.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.1.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 1.1.2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.7.2

Combina ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.7.3.1

Mueve ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.7.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.7.3.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Paso 1.1.2.7.4

Multiplica $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.2.7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Paso 1.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 1.1.2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 1.1.2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 1.1.2.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Paso 1.1.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.1.2.13

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.13.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot - 1$

Paso 1.1.2.13.2

Combina $\frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.2.13.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \sqrt{4 - x}$ .

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Paso 2.1

Establece el radicando en $\sqrt{4 - x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$4 - x \geq 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 4$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $- x \geq - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término de $- x \geq - 4$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x \leq 4$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq 4}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq 4}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 4]$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 4]$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.1

Resta $0$ de $4$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$

Paso 4.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 8}$

Paso 4.2.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{32}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{32}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, 4]$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, 4]$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5