Cálculo Ejemplos

Hallar la concavidad f(x)=3/(x-5)
Paso 1
Find the values where the second derivative is equal to .
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Paso 1.1
Obtener la segunda derivada.
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Paso 1.1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1.1
Diferencia con la regla del múltiplo constante.
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Paso 1.1.1.1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.1.2
Reescribe como .
Paso 1.1.1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
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Paso 1.1.1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.1.1.3
Diferencia.
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Paso 1.1.1.3.1
Multiplica por .
Paso 1.1.1.3.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.3.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.3.5
Simplifica la expresión.
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Paso 1.1.1.3.5.1
Suma y .
Paso 1.1.1.3.5.2
Multiplica por .
Paso 1.1.1.4
Simplifica.
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Paso 1.1.1.4.1
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 1.1.1.4.2
Combina los términos.
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Paso 1.1.1.4.2.1
Combina y .
Paso 1.1.1.4.2.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.2
Obtener la segunda derivada.
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Paso 1.1.2.1
Diferencia con la regla del múltiplo constante.
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Paso 1.1.2.1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.1.2
Aplica reglas básicas de exponentes.
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Paso 1.1.2.1.2.1
Reescribe como .
Paso 1.1.2.1.2.2
Multiplica los exponentes en .
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Paso 1.1.2.1.2.2.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 1.1.2.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 1.1.2.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
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Paso 1.1.2.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.1.2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.1.2.3
Diferencia.
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Paso 1.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 1.1.2.3.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.3.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.3.5
Simplifica la expresión.
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Paso 1.1.2.3.5.1
Suma y .
Paso 1.1.2.3.5.2
Multiplica por .
Paso 1.1.2.4
Simplifica.
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Paso 1.1.2.4.1
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 1.1.2.4.2
Combina y .
Paso 1.1.3
La segunda derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Establece la segunda derivada igual a luego resuelve la ecuación .
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Paso 1.2.1
Establece la segunda derivada igual a .
Paso 1.2.2
Establece el numerador igual a cero.
Paso 1.2.3
Como , no hay soluciones.
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Paso 2
Obtén el dominio de .
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Paso 2.1
Establece el denominador en igual que para obtener el lugar donde no está definida la expresión.
Paso 2.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 2.3
El dominio son todos los valores de que hacen que la expresión sea definida.
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Paso 3
Crea intervalos alrededor de los valores de donde la segunda derivada es cero o indefinida.
Paso 4
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 4.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 4.2
Simplifica el resultado.
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Paso 4.2.1
Simplifica el denominador.
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Paso 4.2.1.1
Resta de .
Paso 4.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 4.2.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 4.2.3
La respuesta final es .
Paso 4.3
La gráfica es cóncava en el intervalo porque es negativa.
Cóncavo en dado que es negativo
Cóncavo en dado que es negativo
Paso 5
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 5.2
Simplifica el resultado.
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Paso 5.2.1
Simplifica el denominador.
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Paso 5.2.1.1
Resta de .
Paso 5.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 5.2.2
Cancela el factor común de y .
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Paso 5.2.2.1
Factoriza de .
Paso 5.2.2.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 5.2.2.2.1
Factoriza de .
Paso 5.2.2.2.2
Cancela el factor común.
Paso 5.2.2.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 5.2.3
La respuesta final es .
Paso 5.3
La gráfica es convexa en el intervalo porque es positiva.
Convexo en dado que es positivo
Convexo en dado que es positivo
Paso 6
La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.
Cóncavo en dado que es negativo
Convexo en dado que es positivo
Paso 7