Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x {(x - 2)}^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.1.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.1.4.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.1.4.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.1.4.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Paso 1.1.1.4.6

Multiplica ${(x - 2)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Paso 1.1.1.5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Paso 1.1.1.5.3

Factoriza $3 {(x - 2)}^{2}$ de $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.3.1

Factoriza $3 {(x - 2)}^{2}$ de $9 x {(x - 2)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Paso 1.1.1.5.3.2

Factoriza $3 {(x - 2)}^{2}$ de $3 {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Paso 1.1.1.5.3.3

Factoriza $3 {(x - 2)}^{2}$ de $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Paso 1.1.1.5.4

Suma $3 x$ y $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.5

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.6

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.7

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.7.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.7.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.7.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.9.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.9.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

Paso 1.1.1.5.10

Expande $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.11.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.11.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.11.6.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.7

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.8

Multiplica $- 2$ por $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.9

Multiplica $4$ por $12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

Paso 1.1.1.5.11.10

Multiplica $12$ por $- 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Paso 1.1.1.5.12

Resta $48 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Paso 1.1.1.5.13

Suma $24 x$ y $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Como $- 54$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 54 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 54$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Como $72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $72 x$ con respecto a $x$ es $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.4.3

Multiplica $72$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

Paso 1.1.2.5.2

Suma $36 x^{2} - 108 x + 72$ y $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Factoriza $36$ de $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $36$ de $36 x^{2}$ .

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $36$ de $- 108 x$ .

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $36$ de $72$ .

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Factoriza $36$ de $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ .

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.2.1.5

Factoriza $36$ de $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ .

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 1.2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, 1$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 108$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 72$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $72$ .

$f'' (0) = 72$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $72$ .

$72$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 1)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.5$ en la expresión.

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $1.5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $2.25$ .

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 108$ por $1.5$ .

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $162$ de $81$ .

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 81$ y $72$ .

$f'' (1.5) = - 9$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 9$ .

$- 9$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(1, 2)$ porque $f'' (1.5)$ es negativa.

Cóncavo en $(1, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $36$ por $16$ .

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 108$ por $4$ .

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $432$ de $576$ .

$f'' (4) = 144 + 72$

Paso 6.2.2.2

Suma $144$ y $72$ .

$f'' (4) = 216$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $216$ .

$216$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(1, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8