Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 1.1.6.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.2.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Paso 1.2.2

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 4)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.5.2

Factoriza $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 4$ de $- 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Paso 1.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 1.2.16

Combina $8$ y $\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17

Simplifica.

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Paso 1.2.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.17.2.1

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.2.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.3

Factoriza $8$ de $- 24 x^{2} + 32$ .

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Paso 1.2.17.3.1

Factoriza $8$ de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.3.2

Factoriza $8$ de $32$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.3.3

Factoriza $8$ de $8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.5

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.7

Reescribe $- (3 x^{2} - 4)$ como $- 1 (3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 (3 x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ por $8$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ por $8$ .

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $3 x^{2} - 4$ por $1$ .

$3 x^{2} - 4 = \frac{0}{8}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $8$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 4$

Paso 2.3.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Paso 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 2.3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.5.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.3.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.3.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.3.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.2.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.2.3.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{12}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.5

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 (4)}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.5.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.1.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.1.2.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.1.2.2.2.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.1.2.2.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.1.2.2.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.1.2.2.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.1.2.2.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.1.2.2.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.1.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Paso 3.1.2.2.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Paso 3.1.2.2.5

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.5.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Paso 3.1.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Paso 3.1.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Paso 3.1.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Paso 3.1.2.2.6

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.1.2.2.7

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.2.2.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.9.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Paso 3.1.2.2.9.2

Suma $4$ y $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Paso 3.1.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Paso 3.1.2.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Paso 3.1.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 3.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 3.1.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Paso 3.1.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ es $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Paso 3.3

Sustituye $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.4.2.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.6

Multiplica $4$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{12}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.7

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.7.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (4)}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.7.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4}{3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.1.8

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Paso 3.3.2.2.3

Multiplica $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.3.2.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.3.2.2.4.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.3.2.2.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.3.2.2.4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.3.2.2.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.3.2.2.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.3.2.2.4.2.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Paso 3.3.2.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Paso 3.3.2.2.6

Multiplica $4$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Paso 3.3.2.2.7

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.7.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Paso 3.3.2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Paso 3.3.2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Paso 3.3.2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Paso 3.3.2.2.8

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.3.2.2.9

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.3.2.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.3.2.2.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.11.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Paso 3.3.2.2.11.2

Suma $4$ y $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Paso 3.3.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Paso 3.3.2.4.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Paso 3.3.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 3.3.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 3.3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ es $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.25470053$ en la expresión.

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 {(- 1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.25470053$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $1.57427344$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Resta $4$ de $4.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 1.25470053$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $1.57427344$ y $4$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $5.57427344$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $8$ por $0.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Paso 5.2.3.2

Divide $5.78256258$ por $173.20674748$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0.03338531$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 0.03338531$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Paso 5.3

En $- 1.25470053$ , la segunda derivada es $- 0.03338531$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{8 (3 {(0)}^{2} - 4)}{{({(0)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (3 \cdot 0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0 + 4)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{4^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{64}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{64}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $- 32$ y $64$ .

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $32$ de $- 32$ .

$f'' (0) = - \frac{32 (- 1)}{64}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.2.1

Factoriza $32$ de $64$ .

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = - \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $0.5$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Incremento en $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.25470053$ en la expresión.

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 {(1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $1.25470053$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $1.57427344$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $4$ de $4.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $1.25470053$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $1.57427344$ y $4$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $5.57427344$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $8$ por $0.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Paso 7.2.3.2

Divide $5.78256258$ por $173.20674748$ .

$f'' (1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0.03338531$ .

$f'' (1.25470053) = - 0.03338531$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Paso 7.3

En $1.25470053$ , la segunda derivada es $- 0.03338531$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Paso 9