Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.5

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.5.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.5.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6

Simplifica.

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Paso 2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.6.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6.2.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6.2.2

Combina los términos opuestos en $8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Paso 2.1.6.2.2.1

Resta $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6.2.2.2

Suma $8 e^{x}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$

Paso 2.2.2

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 8 + e^{x}$ .

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Paso 2.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.6

Diferencia.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.6.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.6.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.9

Suma $x$ y $x$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.10

Factoriza $8 + e^{x}$ de ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

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Paso 2.2.10.1

Factoriza $8 + e^{x}$ de ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.10.2

Factoriza $8 + e^{x}$ de $- 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.10.3

Factoriza $8 + e^{x}$ de $(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.11.1

Factoriza $8 + e^{x}$ de ${(8 + e^{x})}^{4}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.11.2

Cancela el factor común.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.11.3

Reescribe la expresión.

$8 \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.12

Combina $8$ y $\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13

Simplifica.

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Paso 2.2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (8 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.13.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.13.3.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.3.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{x + x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} - 16 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.2

Resta $16 e^{2 x}$ de $8 e^{2 x}$ .

$\frac{64 e^{x} - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.13.4.1

Factoriza $8$ de $64 e^{x} - 8 e^{2 x}$ .

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Paso 2.2.13.4.1.1

Factoriza $8$ de $64 e^{x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.1.2

Factoriza $8$ de $- 8 e^{2 x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.1.3

Factoriza $8$ de $8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.2

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.3

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$\frac{8 (8 u - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.4

Factoriza $u$ de $8 u - u^{2}$ .

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Paso 2.2.13.4.4.1

Factoriza $u$ de $8 u$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.4.2

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 + u (- u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.4.3

Factoriza $u$ de $u \cdot 8 + u (- u)$ .

$\frac{8 (u (8 - u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Paso 3.3.2

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 3.3.2.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.3.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.3.2.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 3.3.3

Establece $8 - e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $8 - e^{x}$ igual a $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $8 - e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{x} = - 8$

Paso 3.3.3.2.2

Divide cada término en $- e^{x} = - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- e^{x} = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.2.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Paso 3.3.3.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Paso 3.3.3.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Paso 3.3.3.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Paso 3.3.3.2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (8)$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ verdadera.

$x = \ln (8)$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\ln (8)$ en $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\ln (8)$ en la expresión.

$f (\ln (8)) = \frac{e^{\ln (8)}}{8 + e^{\ln (8)}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + e^{\ln (8)}}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + 8}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $8$ y $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8}{16}$

Paso 4.1.2.3

Cancela el factor común de $8$ y $16$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 (1)}{16}$

Paso 4.1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.3.2.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\ln (8)) = \frac{1}{2}$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\ln (8)$ en $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ es $(\ln (8), \frac{1}{2})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \ln (8))$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.97944154$ en la expresión.

$f'' (1.97944154) = \frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Paso 6.2

La respuesta final es $\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Paso 6.3

En $1.97944154$ , la segunda derivada es $0.01245842$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, \ln (8))$ .

Incremento en $(- \infty, \ln (8))$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\ln (8), \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.17944154$ en la expresión.

$f'' (2.17944154) = \frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Paso 7.2

La respuesta final es $\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Paso 7.3

En $2.17944154$ , la segunda derivada es $- 0.01245842$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\ln (8), \infty)$ .

Decrecimiento en $(\ln (8), \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\ln (8), \frac{1}{2})$ .

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Paso 9