Cálculo Ejemplos

Hallar los puntos de inflexión f(x)=2x^3+3x^2-36x
Paso 1
Obtener la segunda derivada.
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Paso 1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2
Evalúa .
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Paso 1.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.3
Multiplica por .
Paso 1.1.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.1.4
Evalúa .
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Paso 1.1.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.4.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.4.3
Multiplica por .
Paso 1.2
Obtener la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.2.3
Multiplica por .
Paso 1.2.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.3.3
Multiplica por .
Paso 1.2.4
Diferencia con la regla de la constante.
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Paso 1.2.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.4.2
Suma y .
Paso 1.3
La segunda derivada de con respecto a es .
Paso 2
Establece la segunda derivada igual a luego resuelve la ecuación .
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Paso 2.1
Establece la segunda derivada igual a .
Paso 2.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 2.3
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 2.3.1
Divide cada término en por .
Paso 2.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 2.3.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 2.3.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 2.3.2.1.2
Divide por .
Paso 2.3.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 2.3.3.1
Cancela el factor común de y .
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Paso 2.3.3.1.1
Factoriza de .
Paso 2.3.3.1.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 2.3.3.1.2.1
Factoriza de .
Paso 2.3.3.1.2.2
Cancela el factor común.
Paso 2.3.3.1.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 2.3.3.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 3
Obtén los puntos donde la segunda derivada es .
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Paso 3.1
Sustituye en para obtener el valor de .
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Paso 3.1.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 3.1.2
Simplifica el resultado.
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Paso 3.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 3.1.2.1.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
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Paso 3.1.2.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 3.1.2.1.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 3.1.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 3.1.2.1.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 3.1.2.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 3.1.2.1.5
Cancela el factor común de .
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Paso 3.1.2.1.5.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 3.1.2.1.5.2
Factoriza de .
Paso 3.1.2.1.5.3
Cancela el factor común.
Paso 3.1.2.1.5.4
Reescribe la expresión.
Paso 3.1.2.1.6
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 3.1.2.1.7
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
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Paso 3.1.2.1.7.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 3.1.2.1.7.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 3.1.2.1.8
Eleva a la potencia de .
Paso 3.1.2.1.9
Multiplica por .
Paso 3.1.2.1.10
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 3.1.2.1.11
Eleva a la potencia de .
Paso 3.1.2.1.12
Combina y .
Paso 3.1.2.1.13
Cancela el factor común de .
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Paso 3.1.2.1.13.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 3.1.2.1.13.2
Factoriza de .
Paso 3.1.2.1.13.3
Cancela el factor común.
Paso 3.1.2.1.13.4
Reescribe la expresión.
Paso 3.1.2.1.14
Multiplica por .
Paso 3.1.2.2
Simplifica los términos.
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Paso 3.1.2.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 3.1.2.2.2
Suma y .
Paso 3.1.2.2.3
Cancela el factor común de y .
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Paso 3.1.2.2.3.1
Factoriza de .
Paso 3.1.2.2.3.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 3.1.2.2.3.2.1
Factoriza de .
Paso 3.1.2.2.3.2.2
Cancela el factor común.
Paso 3.1.2.2.3.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 3.1.2.3
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 3.1.2.4
Combina y .
Paso 3.1.2.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 3.1.2.6
Simplifica el numerador.
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Paso 3.1.2.6.1
Multiplica por .
Paso 3.1.2.6.2
Suma y .
Paso 3.1.2.7
La respuesta final es .
Paso 3.2
El punto que se obtiene mediante la sustitución de en es . Este puede ser un punto de inflexión.
Paso 4
Divide en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.
Paso 5
Sustituye un valor del intervalo en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.
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Paso 5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 5.2
Simplifica el resultado.
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Paso 5.2.1
Multiplica por .
Paso 5.2.2
Suma y .
Paso 5.2.3
La respuesta final es .
Paso 5.3
En , la segunda derivada es . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo .
Decrecimiento en desde
Decrecimiento en desde
Paso 6
Sustituye un valor del intervalo en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.
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Paso 6.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 6.2
Simplifica el resultado.
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Paso 6.2.1
Multiplica por .
Paso 6.2.2
Suma y .
Paso 6.2.3
La respuesta final es .
Paso 6.3
En , la segunda derivada es . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo .
Incremento en ya que
Incremento en ya que
Paso 7
Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es .
Paso 8