Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} - 6 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 12 x$ .

$12 x^{2} - 12 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 12 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2} - 12 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 12 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $12 x$ de $- 12 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 1) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (x) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $1$ en $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 2$

Paso 3.3.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ es $(1, - 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, - 1)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (1, - 1)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 12 \cdot - 0.1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 12 \cdot - 0.1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 12 \cdot - 0.1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 1.2$

Paso 5.2.2

Suma $0.12$ y $1.2$ .

$f'' (- 0.1) = 1.32$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $1.32$ .

$1.32$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $1.32$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) - 12 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 - 12 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 + 2 (- 6) (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (- 6 (\frac{1}{2}))$

Paso 6.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 - 6$

Paso 6.2.2

Resta $6$ de $3$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = - 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 6.3

En $\frac{1}{2}$ , la segunda derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12 \cdot 1.1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12 \cdot 1.1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 12 \cdot 1.1$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $1.1$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 13.2$

Paso 7.2.2

Resta $13.2$ de $14.52$ .

$f'' (1.1) = 1.32$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1.32$ .

$1.32$

Paso 7.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $1.32$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(0, 0), (1, - 1)$ .

$(0, 0), (1, - 1)$

Paso 9