Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1

Escribe $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ como una función.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 16 x - 12$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 16 x - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Paso 2.2.4.2

Suma $6 x - 16$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 16$ .

$6 x - 16$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 16 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 16 = 0$

Paso 3.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 16$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 x = 16$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 x = 16$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{6}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $16$ y $6$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$x = \frac{2 (8)}{6}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{8}{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{8}{3}$ en $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{8}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{8^{2}}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{64}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 (\frac{64}{9}) - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.7

Multiplica $- 8 (\frac{64}{9})$ .

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Paso 4.1.2.1.7.1

Combina $- 8$ y $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 8 \cdot 64}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.7.2

Multiplica $- 8$ por $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.1.9.1

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 (- 4) (\frac{8}{3}) + 9$

Paso 4.1.2.1.9.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 \cdot (- 4 (\frac{8}{3})) + 9$

Paso 4.1.2.1.9.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 4 \cdot 8 + 9$

Paso 4.1.2.1.10

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 32 + 9$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $\frac{512}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{512}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 32 + 9$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{512}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 32 + 9$

Paso 4.1.2.2.3

Escribe $- 32$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} + 9$

Paso 4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{- 32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 9$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{- 32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + 9$

Paso 4.1.2.2.6

Escribe $9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1}$

Paso 4.1.2.2.7

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 4.1.2.2.8

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.2.9

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{27} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 512 \cdot 3 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 512$ por $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $- 32$ por $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 9 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.4.3

Multiplica $9$ por $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 243}{27}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.5.1

Resta $1536$ de $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1024 - 864 + 243}{27}$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $864$ de $- 1024$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1888 + 243}{27}$

Paso 4.1.2.5.3

Suma $- 1888$ y $243$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1645}{27}$

Paso 4.1.2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{1645}{27}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $- \frac{1645}{27}$ .

$- \frac{1645}{27}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{8}{3}$ en $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ es $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{8}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.5\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (2.5\overline{6}) = 6 (2.5\overline{6}) - 16$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $2.5\overline{6}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = 15.3\overline{9} - 16$

Paso 6.2.2

Resta $16$ de $15.3\overline{9}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = - 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 6.3

En $2.5\overline{6}$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{8}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{8}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{8}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.7\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (2.7\overline{6}) = 6 (2.7\overline{6}) - 16$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $6$ por $2.7\overline{6}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 16.5\overline{9} - 16$

Paso 7.2.2

Resta $16$ de $16.5\overline{9}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 0.5\overline{9}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.5\overline{9}$ .

$0.5\overline{9}$

Paso 7.3

En $2.7\overline{6}$ , la segunda derivada es $0.5\overline{9}$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{8}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{8}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ .

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Paso 9