Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x {(x - 3)}^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

Paso 1.1.4.6

Multiplica ${(x - 3)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Paso 1.1.5.3

Factoriza $3 {(x - 3)}^{2}$ de $9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ .

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Paso 1.1.5.3.1

Factoriza $3 {(x - 3)}^{2}$ de $9 x {(x - 3)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Paso 1.1.5.3.2

Factoriza $3 {(x - 3)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

Paso 1.1.5.3.3

Factoriza $3 {(x - 3)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

Paso 1.1.5.4

Suma $3 x$ y $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.5

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.6

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.5.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.7.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.7.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.7.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.9

Simplifica.

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Paso 1.1.5.9.1

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.9.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

Paso 1.1.5.10

Expande $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.11.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.11.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.11.6.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.7

Multiplica $- 18$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.8

Multiplica $- 3$ por $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.9

Multiplica $4$ por $27$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

Paso 1.1.5.11.10

Multiplica $27$ por $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Paso 1.1.5.12

Resta $72 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Paso 1.1.5.13

Suma $54 x$ y $108 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 81 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 81$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [162 x]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $162$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $162 x$ con respecto a $x$ es $162 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $162$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.5.1

Como $- 81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $36 x^{2} - 162 x + 162$ y $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $18$ de $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $18$ de $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $18$ de $- 162 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $18$ de $162$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $18$ de $18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $18$ de $18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.2

Reescribe $- 9$ como $- 3$ más $- 6$

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{2}, 3$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{3}{2}$ en $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Combina $3$ y $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Paso 3.1.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.5.2

Resta $6$ de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

Paso 3.1.2.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

Paso 3.1.2.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

Paso 3.1.2.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

Paso 3.1.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

Paso 3.1.2.11

Multiplica $\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ .

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Paso 3.1.2.11.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Paso 3.1.2.11.2

Multiplica $9$ por $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

Paso 3.1.2.11.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

Paso 3.1.2.12

La respuesta final es $- \frac{243}{16}$ .

$- \frac{243}{16}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{3}{2}$ en $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ es $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

Paso 3.3

Sustituye $3$ en $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

Paso 3.3.2.2

Resta $3$ de $3$ .

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (3) = 9 \cdot 0$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $9$ por $0$ .

$f (3) = 0$

Paso 3.3.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $3$ en $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ es $(3, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(3, 0)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{3}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.4$ en la expresión.

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $1.4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $1.96$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 162$ por $1.4$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $226.8$ de $70.56$ .

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 156.24$ y $162$ .

$f'' (1.4) = 5.76$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $5.76$ .

$5.76$

Paso 5.3

En $1.4$ , la segunda derivada es $5.76$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

Incremento en $(- \infty, \frac{3}{2})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{3}{2}, 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.25$ en la expresión.

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $2.25$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $36$ por $5.0625$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 162$ por $2.25$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $364.5$ de $182.25$ .

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 182.25$ y $162$ .

$f'' (2.25) = - 20.25$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 20.25$ .

$- 20.25$

Paso 6.3

En $2.25$ , la segunda derivada es $- 20.25$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{3}{2}, 3)$ .

Decrecimiento en $(\frac{3}{2}, 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.1$ en la expresión.

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $36$ por $9.61$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 162$ por $3.1$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $502.2$ de $345.96$ .

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 156.24$ y $162$ .

$f'' (3.1) = 5.76$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $5.76$ .

$5.76$

Paso 7.3

En $3.1$ , la segunda derivada es $5.76$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Paso 9