Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 4 x - 4$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 4 x - 4$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Paso 2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $- 4$ como $2$ más $- 6$

$3 x^{2} + (2 - 6) x - 4 = 0$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4 = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}, 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - \frac{2}{3}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- \frac{2}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{8}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{8}{27} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.7

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{4}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 (\frac{4}{9}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.10

Multiplica $- 2 (\frac{4}{9})$ .

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Paso 4.1.2.1.10.1

Combina $- 2$ y $\frac{4}{9}$ .

$- \frac{8}{27} + \frac{- 2 \cdot 4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.10.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- \frac{8}{27} + \frac{- 8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.12

Multiplica $- 4 (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 4.1.2.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + 4 (\frac{2}{3}) + 1$

Paso 4.1.2.1.12.2

Combina $4$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{4 \cdot 2}{3} + 1$

Paso 4.1.2.1.12.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} + 1$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $\frac{8}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - (\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{8}{3} + 1$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{8}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} + 1$

Paso 4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{9} + 1$

Paso 4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

Paso 4.1.2.2.5

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

Paso 4.1.2.2.6

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 4.1.2.2.7

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Paso 4.1.2.2.8

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Paso 4.1.2.2.9

Multiplica $3$ por $9$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Paso 4.1.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $8$ por $9$ .

$\frac{- 8 - 24 + 72 + 27}{27}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.5.1

Resta $24$ de $- 8$ .

$\frac{- 32 + 72 + 27}{27}$

Paso 4.1.2.5.2

Suma $- 32$ y $72$ .

$\frac{40 + 27}{27}$

Paso 4.1.2.5.3

Suma $40$ y $27$ .

$\frac{67}{27}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$8 - 8 - 4 \cdot 2 + 1$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$8 - 8 - 8 + 1$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$0 - 8 + 1$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $8$ de $0$ .

$- 8 + 1$

Paso 4.2.2.2.3

Suma $- 8$ y $1$ .

$- 7$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{2}{3}, \frac{67}{27}), (2, - 7)$

Paso 5