Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Paso 2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 2$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x = 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$x = 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1$ .

$1$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 2 x - 2$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Paso 5.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 5.3

En $x = 0$ la derivada es $- 2$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Paso 6.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$f' (2) = 2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

En $x = 2$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 1)$

Paso 8