Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.1.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 1.1.9

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.1.10

Simplifica.

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Paso 1.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.10.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.2

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.10.2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.1.10.2.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.3.4

Resta $2$ de $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.6

Para escribir $x^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.7

Combina $x^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.10.2.10

Suma $3 x^{\frac{1}{3}}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Paso 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}$ .

Paso 2.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.2.4

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 2.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.2.6

El MCM de $3, 3, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 2.2.7

El MCM de $x^{\frac{2}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.2.8

El MCM para $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3.4

Suma $2$ y $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3.5

Divide $3$ por $3$ .

$4 x^{1} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.4

Simplifica $4 x^{1}$ .

$4 x - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.5

Cancela el factor común de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.3.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ al numerador.

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$4 x - 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$4 x - 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x - 4 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 4$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $4 x = 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $4 x = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Divide $4$ por $4$ .

$x = 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1$ .

$1$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 4.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 4.2

Establece el denominador en $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Paso 4.3.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.3.1

Divide cada término en $27 x^{2} = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.1.1

Divide cada término en $27 x^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 4.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 4.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 4.3.3.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Paso 4.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x^{2} = 0$

Paso 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.3.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.3.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.3.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2.1.1.4

Evalúa el exponente.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.4.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 6.2.1.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 6.2.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.4.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 1) = \frac{- 4 - 4}{3}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.2.1

Resta $4$ de $- 4$ .

$f' (- 1) = \frac{- 8}{3}$

Paso 6.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{8}{3}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3}$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{8}{3}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{2}$ como $2^{- 1}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {({(2)}^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.6

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.8

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.9

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.11

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1.11.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{6 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.1.11.2

Resta $1$ de $6$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Paso 7.2.1.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Paso 7.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - (4 (\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}))$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $4 \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

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Paso 7.2.1.5.1

Combina $4$ y $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 7.2.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Paso 7.2.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 + \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 7.2.1.5.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 7.2.1.5.5

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 7.2.1.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}{3}$

Paso 7.2.1.5.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.5.7.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{6 + 2}{3}}}{3}$

Paso 7.2.1.5.7.2

Suma $6$ y $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Paso 7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Paso 7.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2.1.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2.1.4

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.6.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2.1.6.2

Suma $6$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2.2

La respuesta final es $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.3

Simplifica.

$0.83994736$

Paso 8.4

En $x = 2$ la derivada es $0.83994736$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (0, 1)$

Paso 10