Cálculo Ejemplos

Hallar dónde aumenta o desciende la función utilizando derivadas f(x)=(x^2)/(x^2-4)
Paso 1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 1.1.2
Diferencia.
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Paso 1.1.2.1
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.1.2.3
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.5
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.6
Simplifica la expresión.
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Paso 1.1.2.6.1
Suma y .
Paso 1.1.2.6.2
Multiplica por .
Paso 1.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 1.1.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.1.5
Suma y .
Paso 1.1.6
Simplifica.
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Paso 1.1.6.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.1.6.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.1.6.3
Simplifica el numerador.
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Paso 1.1.6.3.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.1.6.3.1.1
Multiplica por sumando los exponentes.
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Paso 1.1.6.3.1.1.1
Mueve .
Paso 1.1.6.3.1.1.2
Multiplica por .
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Paso 1.1.6.3.1.1.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.1.6.3.1.1.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.1.6.3.1.1.3
Suma y .
Paso 1.1.6.3.1.2
Multiplica por .
Paso 1.1.6.3.2
Combina los términos opuestos en .
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Paso 1.1.6.3.2.1
Resta de .
Paso 1.1.6.3.2.2
Suma y .
Paso 1.1.6.4
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.6.5
Simplifica el denominador.
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Paso 1.1.6.5.1
Reescribe como .
Paso 1.1.6.5.2
Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, , donde y .
Paso 1.1.6.5.3
Aplica la regla del producto a .
Paso 1.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 2
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 2.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 2.2
Establece el numerador igual a cero.
Paso 2.3
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 2.3.1
Divide cada término en por .
Paso 2.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 2.3.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 2.3.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 2.3.2.1.2
Divide por .
Paso 2.3.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 2.3.3.1
Divide por .
Paso 3
Los valores que hacen que la derivada sea igual a son .
Paso 4
Obtén dónde la derivada es indefinida.
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Paso 4.1
Establece el denominador en igual que para obtener el lugar donde no está definida la expresión.
Paso 4.2
Resuelve
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Paso 4.2.1
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 4.2.2
Establece igual a y resuelve .
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Paso 4.2.2.1
Establece igual a .
Paso 4.2.2.2
Resuelve en .
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Paso 4.2.2.2.1
Establece igual a .
Paso 4.2.2.2.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 4.2.3
Establece igual a y resuelve .
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Paso 4.2.3.1
Establece igual a .
Paso 4.2.3.2
Resuelve en .
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Paso 4.2.3.2.1
Establece igual a .
Paso 4.2.3.2.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 4.2.4
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 4.3
La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a , el argumento de una raíz cuadrada es menor que o el argumento de un logaritmo es menor o igual que .
Paso 5
Divide en intervalos separados alrededor de los valores de que hacen que la derivada sea o indefinida.
Paso 6
Sustituye un valor del intervalo en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.
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Paso 6.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 6.2
Simplifica el resultado.
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Paso 6.2.1
Multiplica por .
Paso 6.2.2
Simplifica el denominador.
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Paso 6.2.2.1
Suma y .
Paso 6.2.2.2
Resta de .
Paso 6.2.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 6.2.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 6.2.2.5
Multiplica por .
Paso 6.2.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 6.2.4
La respuesta final es .
Paso 6.3
En la derivada es . Dado que es positivo, la función aumenta en .
Incremento en ya que
Incremento en ya que
Paso 7
Sustituye un valor del intervalo en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.
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Paso 7.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 7.2
Simplifica el resultado.
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Paso 7.2.1
Multiplica por .
Paso 7.2.2
Simplifica el denominador.
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Paso 7.2.2.1
Suma y .
Paso 7.2.2.2
Resta de .
Paso 7.2.2.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 7.2.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 7.2.2.5
Multiplica por .
Paso 7.2.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 7.2.4
La respuesta final es .
Paso 7.3
En la derivada es . Dado que es positivo, la función aumenta en .
Incremento en ya que
Incremento en ya que
Paso 8
Sustituye un valor del intervalo en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.
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Paso 8.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 8.2
Simplifica el resultado.
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Paso 8.2.1
Multiplica por .
Paso 8.2.2
Simplifica el denominador.
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Paso 8.2.2.1
Suma y .
Paso 8.2.2.2
Resta de .
Paso 8.2.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 8.2.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 8.2.3
Multiplica por .
Paso 8.2.4
La respuesta final es .
Paso 8.3
En la derivada es . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en .
Decrecimiento en desde
Decrecimiento en desde
Paso 9
Sustituye un valor del intervalo en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.
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Paso 9.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 9.2
Simplifica el resultado.
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Paso 9.2.1
Multiplica por .
Paso 9.2.2
Simplifica el denominador.
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Paso 9.2.2.1
Suma y .
Paso 9.2.2.2
Resta de .
Paso 9.2.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 9.2.2.4
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 9.2.3
Multiplica por .
Paso 9.2.4
La respuesta final es .
Paso 9.3
En la derivada es . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en .
Decrecimiento en desde
Decrecimiento en desde
Paso 10
Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.
Incremento en:
Decrecimiento en:
Paso 11